重积分

闭区间上的重积分

闭区间、测度、分划与粒度

• 定义：设 是 中的两个点,且满足 。
  • 以 为端点的闭区间定义为 。有时我们也会把它表示为 。
  • 闭区间 的测度定义为 ,或者记为 。
  • 闭区间 的一个分划 是一个 元组,其中每个 是 中的闭区间 的一个分划,即 ,满足 。记。
  • 用 表示按 中某一范数定义的紧集 的直径,则分划 的粒度定义为 我们将采用无穷范数,此时 。
• 注:分划可以有其它定义(非网格版、非区间版等) ,我们此处采用的是最简单的网格分划。

Riemann 和与重积分的定义

定义:设 是 中的闭区间, 是一个有限维赋范空间,。 - 闭区间 的一个带标记的分划 是指一个分划 和它的一个标记点组, - 函数 关于带标记分划 的 Riemann 和定义为 - 若存在 满足对于任意的 、存在 、使得对于任意满足 的带标记分划 都有 ,则称 在 上(Riemann)可积,并将 称为 在 上的(Riemann)重积分,记为。 (为什么这样的 是唯一的? ) - 从 到 的所有(Riemann)可积函数的全体记为 。当 时,简记为 。

Riemann 可积的必要条件

• 引理:设 ,则 有界。

Darboux 和

• 若 有界,我们可像一元定积分时一样定义 关于某个分划 的 Darboux 和与振幅和:
• 若 有界,将 f 写为 ,则可定义向量值的 Darboux 和与振幅和: 其中 。
• 如果在 中定义一个偏序 ,那么可继续定义关于这个偏序的 和 ,于是向量值的 Darboux 和与振幅和也可按如下方式来定义:
• 设 ξ 是分划 P 的任意一个标记点组,那么一定有

加细引理

• 定义:设 是闭区间 的两个分划,如果对于每个 都是 的一个加细,则称 是 的一个加细。

• 引理:设 、 是闭区间 的两个分划,且 是 的一个加细。记 ,定义: 其中 表示集合 中点的个数 再记 为 在 上的向量值振幅:,则有 ## Darboux 上积分与 Darboux 下积分

• 推论:设 有界,是闭区间 的两个分划,则有 。

• 定义:设 有界。因为 的所有 Darboux 下和构成的集合非空有上界,于是存在上确界,称为 在 上的 Darboux 下积分,记为 ;因为 的所有 Darboux 上和构成的集合非空有下界, 于是存在下确界,称为 在 上的 Darboux 上积分,记为 。

• 定理:设 有界,则对于任意的 存在 使得只要分划 满足 ,就有

Cauchy 准则、振幅判据、Darboux 判据等

• 定理:设 有界,则以下条件等价:
  • 在 上 Riemann 可积;
  • ;
  • ;
  • ;

重积分的性质

引理: - 若 ,则对于任意的 ,有 ,且 - 若，则，且 - 若 ,且 ,则 - 若 ,且 ,则 。 - 若 ,则 ,且 - 若 , 是 的子区间,则 。 - 若,则

Lebesgue 判据

Lebesgue 零测集与几乎处处性质

• 定义:设 ,若对任意的 ,存在 中的至多可数个开区间 ,满足: 且,则称 为 Lebesgue 零测集。
• 定义：设 是一个以 中点为变量的命题函数,如果集合 是 Lebesgue 零测集,则称 在 上几乎处处成立。
• 例
  • 若 是有限集或可数集,则它是 Lebesgue 零测集;
  • 若 是可数多个 Lebesgue 零测集,则也是 Lebesgue 零测集;
  • Cantor 集是不可数的 Lebesgue 零测集(所以集合的势与测度并没有对应关系) ;
  • 若 是 Lebesgue 零测集,则它的任意子集也是 Lebesgue 零测集;
  • 满足 的区间不是 Lebesgue 零测集;

Lebesgue 判据

• 定理 (Lebesgue 判据):设 同前,则 当且仅当 有界且在 上几乎处处连续。

关于振幅函数的准备知识

定义与性质:设 有界。 - 对于 ,定义 ; - 若 ; - 对于 ,定义 ; - 若 是开集、,则有 ; - 在 处连续当且仅当 。

证明从略，日后补充

Jordan 可测集上的重积分

Jordan 可测集及其测度

• 定义：设 是 中的有界集, 是一个包含 的有界闭区间,若函数 ,在 I 上可积,则称 是 Jordan 可测集,相应的积分 叫做 的 Jordan 测度。
• 是 Jordan 可测集当且仅当 (边界) 是 Lebesgue 零测集.
• Jordan 测度的几何意义是(以二维为例)内直角多边形和外直角多边形的面积的共同极限。

Jordan 可测集上的重积分

• 定义:设 是 中的 Jordan 可测集, 是一个有限维赋范空间,。设 是一个包含 的有界闭区间,定义函数 ,若 ,则称 在 上(Riemann)可积,并记。
• 从 到 的所有(Riemann)可积函数的全体记为 。当 时,简记为 。
• 定理 (Lebesgue 判据): 当且仅当 有界且在 上几乎处处连续。
• 闭区间上重积分的各条性质对 Jordan 可测集也成立。

重积分的其它性质

• 引理:
  • 若 、 且,则 a.e.(a.e. 表示几乎处处) 。
  • 若 有界且 a.e.,则未必有 ,比如 。
  • 若 且 a.e.,则
• 定义:定义:设 ,若对任意的 ,存在 中的有限多个开区间 ,满足: 且,则称 为 Jordan 零测集。(等价定义:Jordan 可测且 Jordan 测度为零。 )
• 引理:
  • 若 是紧的 Lebesgue 零测集,则它也是 Jordan 零测集;
  • 若 是 Jordan 零测集,则 也是 Jordan 零测集(此性质对 Lebesgue 零测集不成立) ;
  • 设 有界,若 是 Jordan 零测集,则对于 中的任意 Jordan 可测集 且
• 引理:
  • 设 是两个 Jordan 可测集,则 和 也是 Jordan 可测的。
  • 。
  • 若 是 Jordan 零测集,则
• 引理 (积分中值定理):设 紧致、连通且 Jordan 可测, 且 ,则存在点 ,使得

重积分化累次积分

偏函数的 Darboux 上、下积分

设 ,其中 和 Y 分别是 和 中的两个闭区间,将 中的点记为 ,其中 ,则对于 上的有界函数 ,我们可定义如下四个函数: - - - - 根据 Darboux 上、下积分的定义,我们有 。

Fubini 定理

• 定理 (Fubini 定理):若 ,则 ,并且有
• 推论:若 ,则 对于 几乎处处存在。在 不存在的点 处随意规定 的值,使其满足 ,则这样的 ,并且有
• 推论:若 ,则 对于 处处存在,并且有 ,以及
• 推论:将区间 写为 ,则有

重积分换元法

换元公式

• 定理 (换元公式):设 是 中的两个 Jordan 可测闭区域,是 微分同胚,。记 为 ,则有:
• 注:
  • 一元定积分的换元公式是,其中 上并没有绝对值符号。这是为什么?考虑例子 。
  • Zorich 书中的条件略有不同。那里的 是 中的两个有界开集,而 需要满足一个额外的条件,即 ,其中 。例如,若 , 则 。集合 叫 的支撑集,是很有用的一个概念。
  • Zorich 的版本和我们的版本是等价的。

证明

可积性部分

• 引理:在 Lebesgue 零测集的定义中,可以将开区间改为闭区间或者开(或闭)的立方体。
• 引理:设 是 中的区域, 是一个 Lebesgue 零测集,,则 是 中的 Lebesgue 零测集。
• (Mini-Sard 定理):设 是 中的区域,,则 是 中的 Lebesgue 零测集,因此不可能映满一个区域。
• 证: (换元公式可积性部分):我们采用 Lebesgue 判据,即有界 + 几乎处处连续。
  • 有界:因为 连续可微,所以 连续。因为 紧,所以 存在最大值 。同理,由 连续可微可知 存在最小值 ,且 。因此 有界当且仅当 有界。
  • 几乎处处连续:因为 连续且恒正,所以只需考虑 。设 是 的不连续点集、是 的不连续点集。因为 连续,所以如果 在 处不连续,则 必然在 处不连续,因此 ,或者写为 。若 是 Lebesgue 零测集,注意 是连续可微的,则由前面的引理可知 也是 Lebesgue 零测集,于是 是 Lebesgue 零测集。这样就证明了 几乎处处连续可推出 几乎处处连续。反之,将上述结论中的 和 替换为 和 ,则可由 几乎处处连续推出 几乎处处连续。
• 证：换元公式部分:
  • 只需证常数情形：
    • 引理：若对任意的 (条件同前)有 μ(Dx) ≤? Dtψ (t) dt,则换元公式成立。
  • 线性变换情形：
    • 引理：若 是可逆线性变换(于是 是常数) ,则 。
• 证：最终证明

换元公式加强版

• 例: (动机:极坐标)：设 , 则这个映射在 和 时不是单射,并且在 时不是微分同胚,但它是我们最常用的变量代换,所以需要将之前的换元公式加强,使其能够处理这种例子。
• 定理 (换元公式加强版)：
  • (可积性)：设 是 中的两个 Jordan 可测闭区域, 为,则有。
  • 若存在两个紧的 Lebesgue 零测集 使得 是双射,则有

Mid-Sard 定理

• 定理 (Mid-Sard 定理):设 是 中的开集、,则 是 Lebesgue 零测集。
• Sard 定理只断言临界值构成的集合(即 )是 Lebesgue 零测集,但临界点构成的集合(即)未必是 Lebesgue 零测集。比如最平凡的 ,定义域 中的每个点都是临界点,它显然不是 Lebesgue 零测集。

例:n 维球坐标

如果区域 是 中的球形(或椭球形区域) ,我们通常采用 维球坐标来计算其上的积分: 其中 。相应的 Jacobi 行列式为: 例如,n 维单位球的体积为(结果与之前利用 Fubini 定理计算的一致,略) : ## 例:Newton-Gregory 问题

在 中,一个球可以和多少个等大且互不重叠的球相切?12个

Gauss 积分

例:ζ(2) 相关

反常重积分

穷竭集

• 定义:设 是 中的开集,若有一列紧的 Jordan 可测集 满足 (内部)且,则称 是 的一列穷竭集。
• 定理 (存在定理):设 是 中的开集,则存在至少一列 的穷竭集。

紧集的可穷竭性

• 引理:设 是 中的开集,是 的一列穷竭集,则对于 内的任意紧集 ,一定存在一个,使得 。

反常重积分的定义

• 定义:设 是 中的开集, 是一个函数(同样可考虑向量值函数的情形,此处从略) 。
  • 若对于 内的任意紧 Jordan 可测集 ,,则称 在 上局部可积,记为
  • 设 ,若存在 ,使得对于 的任意穷竭集列 ,有,则称 在 上反常 Riemann 可积,记为 ;称 A 为 f 在 Ω上的反常重积分,记为。当 时,也称反常积分 收敛;否则,称它发散。

非负函数的可积性

• 引理:设 同前,,且 ,则 当且仅当存在一个 的穷竭集列 使得 收敛。

线性性、比较判敛法及其推论

• 引理:设 同前,,则对于任意的 ,有,且有
• 引理:设 同前,,且 。若 ,则 ,且有
• 推论:设 同前,,若 ,则 ,且有

反常重积分的基本定理

• 定理 (基本定理):设 是 中的开集,,则

反常重积分的换元法

• 定理：设 是 中的两个开集,是 微分同胚,,则有 ,且此时有

反常重积分的 Fubini 定理

日后处理，将在数学分析(三)中重点研究